ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES
Cuando se necesita además restar surgen los números enteros Z ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.
Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:
el entero positivo a-b, si a > b,0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)
De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como
(-a)(-b)=ab (-a)b=a(-b)=-(ab),l conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
Q={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }
Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
En Q se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
En Q se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en Z y en N. Para ello basta con definirlo como sigue:
Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice (a/b)≤(c/d) que si y sólo si ad≤bc respecto del orden existente en el conjunto de los enteros
Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero formado por el anteperíodo, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreducible.
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es 0.1234567891011121314151617181920........ claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.
